ЗАДАНИЕ 1. Одиночный выбор

Выберите правильный метод для нахождения интеграла ∫ x · e^x dx:

Ответ: ______

ЗАДАНИЕ 2. Множественный выбор

Какие из перечисленных интегралов целесообразно решать методом замены переменной? (Выберите все верные варианты)

1) ∫ (2x + 5)⁷ dx

2) ∫ x · cos(x) dx

3) ∫ 1x ln x dx

4) ∫ x² sin(x) dx

ЗАДАНИЕ 3. Сопоставление

Установите соответствие между интегралом и методом его решения:

Ответ: 1 — ____, 2 — ____

ЗАДАНИЕ 4. Заполнить пропуски

Для применения формулы интегрирования по частям ∫ u dv = uv - ∫ v du для интеграла ∫ x · cos x dx необходимо выбрать:

• u = x, тогда du = ________
• dv = cos x dx, тогда v = ________

ЗАДАНИЕ 5. Развернутый ответ

Вычислите интеграл методом замены переменной: ∫ (3x - 1)⁴ dx.

Подсказка: введите замену $t = 3x - 1$.

Решение:

ЗАДАНИЕ 6. Критическое мышление

Инженер-проектировщик рассчитывает площадь сечения детали, которая описывается функцией f(x) = x · e^-x. Он утверждает, что для нахождения площади (определенного интеграла) достаточно использовать только замену переменной. Прав ли он? Обоснуйте свой ответ, предложив правильный метод решения для данной функции.