Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Поурочный план №51
Тема: Раздел 9. Первообразная и интеграл – 16 часов.
Тема 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Наименование модуля /дисциплины: Математика
Подготовил педагог: Бурковская Н.Д. "__"_______2021 года
Курс: I группы № _______
Тип занятия: Изучение новой темы, формирование зун.
2. Цели: 11.4.1.1 - знать определение первообразной функции и неопределенного интеграла;
11.4.1.2 - знать и применять свойства неопределенного интеграла;
11.4.1.3 - знать основные неопределенные интегралы:
1.
2.
3.
4. ;
5. ;
6. , и применять их при решении задач;
Задачи: научатся производить вычисления первообразных и неопределенных интегралов, используя свойства и формулы; будут развивать критическое мышление, смогут наблюдать и делать анализ математических ситуаций;
Ожидаемый результат:
Углубят и систематизируют теоретические знания, будут развивать познавательный интерес, мышление, речь, творчество.
Создать условия для развития практического и творческого мышления.
2.1 Перечень профессиональных умений, которыми овладеют обучающиеся в процессе учебного занятия: вычисление первообразной и неопределенного интеграла.
3. Оснащение занятия Презентация
3.1 Учебно-методическое оснащение, справочная литература
УМК Алгебра и начала анализа 11 класс, А.Е. Абылкасымов, Т.П. Кучер, В.Е. Корчевский, З.А. Жумагулова. Глава I, §1 стр. 12-21.
3.2 Техническое оснащение, материалы:
4. Ход занятия:
I.Организационный момент – 1 – 2 мин.
1.Приветствие учащихся.
2.Отметить отсутствующих.
II. Опрос по домашнему заданию
1. Производная;
2. Применение производной в физике.
III. Объяснение нового материала. Краткий конспект.
С помощью операции дифференцирования можно, зная законы движения тела, найти его мгновенную скорость в любой момент времени.
Часто возникает необходимость в решении обратной задачи: зная скорость прямолинейного движения тела в каждый момент времени, найти закон движения тела. Эти и аналогичные задачи решаются с помощью операции интегрирования функции, которая обратна операции дифференцирования.
Определение. Функцию F, заданную на некотором промежутке I, называют первообразной для функции f, заданной на том же промежутке, если для всех , выполняется равенство: F'(x) = f(x).
Например из равенства (х3)' = 3х2 следует, что х3 – первообразная для 3х2. Заметим, что (х3 + 4)' = = 3х2, следовательно, х3 + 4 - первообразная для функции 3х2. Вообще любая функция вида х3 + с, где с – некоторое число, является первообразной для функции 3х2. Следовательно функция 3х2 имеет бесконечное множество первообразных! Из этого вытекает основное свойство первообразной:
Теорема: Если функция f имеет на промежутке I первообразную F, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + с, где с – произвольная постоянная.
Геометрический смысл этого свойства состоит в том, что графики первообразных для функции f(x), получаются из графика F(x) сдвигом вдоль оси ОУ на С единиц.
Определение. Совокупность всех первообразных функции f(x) называют
неопределенным интегралом этой функции и обозначают
символом: , где f(x)dx – подинтегральное выражение,
f(x) – подинтегральная функция.
= F(x) + с, т.е. обозначение операции нахождения первообразной,
операции интегрирования является неопределенный интеграл.
Символ введен Лейбницем, а слово «интеграл» придумал Бернули. В переводе: восстанавливать или приводить в прежнее состояние.
Мы уже установили, что операция интегрирования является обратной для операции дифференцирования. Используя таблицу производных составим таблицу первообразных, учитывая промежуток I.
Таблицы и схемы используемые на уроках.
Таблица первообразных
f(x) F(x)Промежуток
kkx+cR

xn

nN  x  R.
-nN  x  (; 0)  (0; +)
nZ  x (0; +)
cos x sin x + cR
sin x-cos x + cR

tg x + c


-ctg x + c

(kx + b)n
n -1, xR
sin(kx + b)- cos(kx + b) +c
R
cos(kx + b) sin(kx + b) +c
R

Если F первообразная для функции f, то F + с, где с постоянная величина, также является первообразной для функции f.
Если F и G первообразные для функций f и g , то F + G является первообразной для функции f + g.
Если F – первообразная для функции f, то функция сF является первообразной для функции сf.
Если F – первообразная для функции f, то функция F(kx + b) является первообразной для функции f(kx + b).

Примеры: №1.1;1.3.


Образец


использованы свойства 3 и 2

использована формула 1
Вычислить:


Образец


использованы свойства 3 и 2
=
использована формула 1
Вычислить:


5.Рефлексия по занятию:
1. С какими трудностями столкнулись при решение примеров?
6. Домашнее задание: №1.2