Маршрутный лист по геометрии для учащихся 8-го класса по теме "Уравнение прямой".

Маршрутный лист ученика

Ввод в тему урока, используя основные знания и навыки, приобретенные на предыдущих уроках.
Приложение 1
1. На прямой, перпендикулярной оси абсцисс, взяты две точки. У одной абсцисса равна -2. Чему равна абсцисса другой точки?
1) 2.
2) 0.
3) -2.
4) Нельзя определить.
2. На прямой, параллельной оси ординат, взяты две точки. Абсцисса одной из них равна 5. Чему равна ордината другой точки?
1) 5.
2) 0.
3) -5.
4) Нельзя определить.
3. Из точки A(-1, 8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите координаты его основания.
1) (-1, 0).
2) (0, 8).
3) (1, 0).
4) (0, -8).
4. Через точку B(5, -4) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты ее точки пересечения с осью ординат.
1) (5, 0).
2) (-5, 0).
3) (0, -4).
4) (0, 4).
Уравнение прямой
Для выведения уравнения прямой проведём эту прямую как серединный перпендикуляр некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.
Известно, что все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.
Координаты концов отрезка A(xA;yA) и B(xB;yB). Любая точка P(x;y) находится в равных расстояниях от конечных точек PA=PB, тогда и квадраты расстоянийравны:PA2=PB2, значит справедливо равенство(x−xA)2+(y−yA)2=(x−xB)2+(y−yB)2, которое и есть уравнение прямой.После возведения выражений в скобках и приведения подобных слагаемыхуравнение будет в таком виде: ax+by+c=0,


Рассмотрим особые прямые.
1. Прямая проходит через некоторую точку на оси Oxс координатамиA(xA;0).Для любой точки на этой прямойx=xA, это и есть уравнение прямой.
Так как ось Oyпроходит через начало координат, то уравнение оси Oyестьx=0.
2. Прямая проходит через некоторую точку на оси Oy с координатамиB(0;yB).Для любой точки на этой прямойy=yB, это и есть уравнение прямой.
Так как ось Oxпроходит через начало координат, то уравнение осиOxестьy=0.
Первичное закрепление.
Приложение 2.
1) Даны точкиA(0; - 2),B(- 2;1),C(0;0) иD(2; - 9). Укажите те из них, которые лежат на прямой 2x- 3y+ 7 = 0.
2) Составьте уравнение прямой, проходящей через точкуM(- 3;1) параллельно а) осиOx; б) осиOy.
Ответ:а) y= 1; б)x= - 3.
3) Напиши уравнение прямой ax+by+c=0, все точки которой находятся в равных расстояниях от точек A(4;2) и B(6;7).
Решение:Сначала нужно написать уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Найти середину отрезка АВ. Через эту точку провести прямую, перпендикулярную прямой АВ. Все точки этой прямой будут находится на равном расстоянии от точек А и В.
1) Напишем уравнение прямой, проходящей через точки А и В;
у=кх+в; 2=к4+в; в=2-4к (1);
7=к∙6+в; в=7-6к (2);
2-4к=7-6к; 2к=5; к=2,5; в=7-6∙2,5=-8; у=2,5х-8; угловой коэффициент равен к=2,5;
2) координаты точки середины отрезка АВ равны ((4+6)/2; (2+7)/2)=(5;4,5);
3) угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку. Угловой коэффициент искомой прямой равен
к1=-1/к=-1/2,5=-0,4;
Уравнение прямой проходящей через точку (5;4,5) перпендикулярно к прямой у=2,5х-8: 4,5=5∙(-0,4)+в;
в=4,5+2=6,5;
у=-0,4х+6,5;
0,4х+у-6,5=0.
Ответ: 0,4х+у-6,5=0
Кроме рассмотренного уравнения используютдля составления уравнения прямой формулу:(х-х_1)/(х_2-х_1 )=(у-у_1)/(у_2-у_1 ).
Пример: Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1;2) и B(-1;1).
Решение: Подставляя в уравнение x1=1, y1=2, x2=-1; y2=1 получим:
откуда или 2у-4=х-1, или окончательно х-2у+3=0

Приложение 3.
Задание 1. Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M1(−5,2/3), M2(1,−1/6).
Решение: Уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами (x1,y1) и (x2,y2) принимает вид(х-х_1)/(х_2-х_1 )=(у-у_1)/(у_2-у_1 ).
По условию задачи имеем, что x1=−5,y1=2/3, x2=1, y2=−1/6. Необходимо подставить числовые значения в уравнение (х-х_1)/(х_2-х_1 )=(у-у_1)/(у_2-у_1 ). Получим: (х+5)/(1+5)=(у-2/3)/(-1/6-2/3)(х+5)/(1+5)=(6у-2)/(-1-4)
Ответ:(x+5)/6=(y-2/3)/((-5)/6).
Задание 2. Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатамиA(1,1)иB(4,2).
Решение:Подставим значения координат в уравнение (х-х_1)/(х_2-х_1 )=(у-у_1)/(у_2-у_1 ).
Получим: (х-1)/(4-1)=(у-1)/(2-1)(х-1)/3=(у-1)/1
Ответ: x−3y+2=0.
3) Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых
3x+ 2y- 5 = 0 иx- 3y+ 2 = 0 параллельно оси ординат.
Решение
Решив систему уравнений 3х+2у=0
х-3у+2=0

найдём координаты точкиB(x0;y0) пересечения данных прямых:x0= 1,y0= 1.
Поскольку искомая прямая параллельна оси ординат и проходит через точку B(x0;y0), её уравнение имеет видx=x0, т.е.x= 1.
Ответ: x= 1.
4) Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых
2x+y- 6 = 0,x-y+ 4 = 0 иy+ 1 = 0.
Решение
Решив систему уравнений 2х+у-6=0
х-у+4=0

найдём координаты точкиA(x1;y1) пересечения данных прямых:x_1=2/3,y_1=14/3.
Аналогично найдём остальные вершины треугольника.
Ответ
(2/3,14/3;), (- 5; - 1), (7/2; - 1).